平面和直线是三维计算机视觉和计算机图形学中有用的几何实体。将它们表示为一组点是低效的，这会导致很大的内存需求，具体取决于用于生成点的步长。

在本文中，我将讨论如何使用向量方程表示平面和直线。我还将介绍如何使用向量形式找到直线和平面之间的交点。

三维线条

我们可以用下面的等式［1］表示向量形式的直线。

p ＝ l₀ ＋ l ＊ ＊＊ d，＊＊ d ∈ R

其中，I是一个向量，表示直线方向，l₀是直线上的一个点，d是标量。

p是直线上的通用点，这些点定义了线。因此，为了定义直线，我们只需要知道6个数字／参数，就可以用向量形式完整地表示它。

我创建了一个类来表示线向量并绘制它。它由一个vector和一个point＿on＿line参数化，它们都是3x1 numpy列向量。

要在直线上获得点，我们可以使用该方程。通过缩放vector改变d。

我将展示一些样本行。

向量（1，1，1）点（0，0，0）；

如果你想要一条横跨二维平面的线，那么你可以使用一个在两个坐标中只有非零值的向量，你将在二维平面中得到一条线。向量（1，1，0）点（0，0，0）：

三维平面

我们可以用下面的等式表示向量形式的平面。

（p — p₀） ＊  n ＝ 0，其中n是平面的法向（垂直）向量，p₀是平面上的点。

上述方程式中所有点p的轨迹定义了该平面。（p — ＊＊p₀）＊＊表示平面中的向量，n表示平面的正交向量或法向量。因此，对于平面上所有点p的这些向量，相互正交的这两个向量的点积将为零。

用六个数字来表达一个平面十分优雅！

下面是Python中使用上述定义的平面类。

接下来，让我们看看如何找到直线和平面的交点。

3D中点与平面的交点

现在我们知道了如何在3D中表示点和平面，我们可以看看如何找到这两个几何图形之间的交点。

如果一条直线和某个平面在点p相交，它将同时满足直线和平面方程。因此，为了找到交点，将p的值从直线方程代入平面方程。

（（ ＊＊l₀ ＋ l ＊ ＊＊ d） — p₀） ＊ n ＝ 0

展开这些项可以得到以下等式。

（l ＊  n） d ＋ （l₀ — p₀） ＊  n ＝ 0

求解d得到：

d ＝ （p₀ — l₀） ＊  n ／ （l ＊  n）

这返回给我们一个点，该点位于直线和平面上。

有三种情况。

首先是直线和平面平行，但直线不在平面内。

接下来是，正好有一个交点。

最后，直线平行于平面并在平面中，在这种情况下，直线中的每个点也将位于平面上。因此，在这种情况下，将有无限多个点同时满足这两个方程。

对于前两个案例，l ＊  n ＝ 0，因为对于它们，I垂直于法向量n。否则，我们将得到一个实数d，它可以在直线方程中替换回来，以得到交点：

p ＝ l₀ ＋ l ＊ d

我已经为平面和直线类编写了一个基于上述方程计算交点的函数。请注意，函数是相同的等式，唯一不同的是代码语法。class Line：

现在，我们可以使用plane和line类来查找它们之间的交点。例如：

我们可以使用Symphy验证结果：

我们也使用Symphy实现来验证我们的代码。

结论

在本文中，我们研究了3D中的线和平面。我们看到了它们的向量方程，以及如何用一个向量和一个点来表示它们。这是一个非常紧凑的表示，只有六个数字。我们最终了解了如何找到两者之间的交叉点，并查看了三种可能的交叉点情况。

参考文献